概率论与数理统计
这本书的封面很有意思,我记得当时还发了个时刻
谨以此书纪念魏宗舒教授
这本书不是华东师范大学出版的,是高等教育出版社
但我觉得摸起来,看起来,学起来都差不多.
教这门课的老师叫彭凯,一位非常年轻,很受我们喜爱的老师
他不会点名,他也解释了这么做的原因:无为而治
他上课喜欢东扯西拉,喜欢评论女权,也喜欢提一些社会上的重大事件
虽然他有时候说话都会急了点
但他是位非常好的老师,我从他的人生哲学中学到了很多东西
我十分尊重他.
随机事件与概率
这个部分大概就是高中的内容了吧,
但是老师讲的时候我觉得又刷新了我对概率的理解,
我有点茫然,但还是选择了接受自己高中那一套说法,避免混淆
样本空间
有这样一些专业术语:
**随机试验 样本点 样本空间(离散or连续) **
**随机事件 基本事件 必然事件 不可能事件 随机变量 **
概率的定义及其确定方法
分为三种
直观定义: 事件A出现的可能性大小
统计定义: 在大量重复试验下出现的频率的稳定值
古典定义: 几何定义
概率的公理化定义
非负性公理, 正则性公理, 可列可加性公理
例题：六根草，头两两相接，尾两两相接，求成环的概率
解：用乘法原则直接计算，所求概率为：
644221/654321
$$
E=mc^2
$$
条件概率
定义：对于事件A,B,若 P（B）> 0 ,
$$
P(A|B) = P(AB)/P(B)
$$
为在B出现的条件下 A出现的条件概率
计算方法
- 缩减样本空间
- 用定义
三大公式
乘法公式 全概率 贝叶斯
全概率公式用于求复杂事件的概率
使用全概率公式关键在于寻找另一组事件来分割样本空间
全概率公式的最简单表达方式就是：
在B事件发生的情况下A发生的概率 + B事件不发生的情况下A发生的概率
贝叶斯公式
这个公式又称为 后验概率公式
B1，B2….可以看作导致A发生的原因，
在事件A发生条件下，某个原因B发生的概率，称为“后验概率”
事件的独立性
两个事件的独立一般在实践中通过经验来判断
多个事件的相互独立性，也有相对于的公式
随机变量及其分布
掷色子出现的点数X是一个随机变量
每天进入商场的顾客数Y
电视机的寿命T
测量的误差 e
在随机现象中还有不少样本点本身不是数字，这时可以根据需要进行设置
| 样本点 | X的取值 |
|---|---|
| 合格品 | 0 |
| 不合格平 | 1 |
则X取各种值及其概率可列表
| X | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P | 1-p | p |
定义：在样本空间上的实值函数X称为随机变量
随机变量X的分布函数
F(x) = P(X<x)
性质
单调非减
有界
右连续
这三条性质是判别是否能成为分布函数的充要条件
柯西分布函数
$$
F(x) = (arctanx + Pi/2) \frac {1}{Pi}
$$
其中：
$$
P(-1<= X <= 1 ) = 1/2
$$
根据分布列求出X的分布函数
离散型的分布函数是梯形，有着右连续的跳跃点
连续随机变量的概率密度函数
$$
\int_{a}^b p(x) = P(a<X<b)
$$
随机变量的数学期望
在概率论中，数学期望源于历史上一个著名的分赌本问题
1654年, 职业赌徒德·梅累（De Mere）向法国数学家帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）提出一个使他苦恼很久的分赌本问题：甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这100法郎如何分才算公平？
数学期望的性质
首先它的本质就是均值，也就是类似于平均值，所以性质也不会有什么难的
需要记住的就是如果将X用另外一个函数g(x)代替后，
在离散场合，连续场合，数学期望的计算公式
随机变量的方差和标准差
这个就更加不需要多言，还是公式直接套入
方差的性质
这个就类似于高中 记得要a的平方
切比雪夫不等式
这个不等式给出大偏差发生概率的上界，方差越大，上界越大
如果方差为0就意味着随机变量的取值几乎集中在一点上
书上有证明过程
常用的离散分布
二项分布
这个是高中学的很精的了 无需多言
二点分布
同二项分布
泊松分布
这个是大学知识，泊松分布是一种常用的离散分布
它常与单位时间的计数过程相联系
泊松分布的数学期望由累加公式可以推出
就是参数 ，同时他也是方差
$$
\lambda
$$
二项分布的泊松近似‘
当n很大的时候，二项分布就可以转化为泊松分布的公式
超几何分布
还是和高中差不都，当时觉得很厉害的名字
现在还是不理解哈哈，有点想斌哥了
同样的，超几何分布也有二项近似
几何分布
类似于掷色子
常用的连续分布
在连续分布场合，密度函数和分布函数是可以相互推导的
但是人们对密度函数更为注意，尤其是在图像方面
正态分布
有两个参数，瑟格玛越大，曲线呈现出矮而胖
正态分布的顺序额期望与方差
也是与两个参数有关，这里懒得写公式了
指数分布
密度分布函数很有意思，它的曲线符合对寿命的分布
同时它的数学期望与方差也是与参数有关
